エラトステネスの篩（sieve of Eratosthenes）は、与えられた整数以下の素数を効率的に発見するための計算手順です。
このアルゴリズムは、紀元前3世紀の古代ギリシャの学者エラトステネスによって考案され、現在でも数学やコンピュータサイエンスの分野で広く利用されています。
本記事では、エラトステネスの篩の基本概念、その操作手順、さらにはこのアルゴリズムの応用について詳しく説明します。
エラトステネスの篩の基本概念
エラトステネスの篩の概要
エラトステネスの篩は、リストから特定の倍数を削除していくことで、素数を見つけ出すアルゴリズムです。
この手法は、リストに残る数がすべて素数であることを保証します。
具体的な手順を以下に示します。
アルゴリズムの手順
１．初期リストの作成: 2から目的の数（n）までの整数のリストを作成します。
２．倍数の削除:
- 最初の素数である2の倍数をリストから削除します。
- 次にリストに残っている最小の数（この場合は3）を次の素数として認識し、その倍数を削除します。
- このプロセスを続けていきます。つまり、リストに残った数の倍数を次々と削除していくことで、新しい素数を発見していきます。
３．操作の終了条件: この操作は、リストの先頭に残った素数の2乗が目的の数を超えるまで繰り返します。
これ以降に残った数はすべて素数です。
アルゴリズムの背景
このアルゴリズムが「篩」（ふるい）と呼ばれる理由は、物質をふるい分ける作業に似ているためです。
粉状のものをふるいにかけるように、数を選別する過程が連想されます。
エラトステネスの篩の具体例
例: n = 30 の場合
- 初期リスト: [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30]
- 2の倍数を削除: [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]
- 3の倍数を削除: [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29] （削除する倍数はすでに消されているため変化なし）
- 5の倍数を削除: [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23]
- 操作終了: 目的の数30に達したので、残った数はすべて素数です。
エラトステネスの篩の応用
数学的な応用
エラトステネスの篩は、数学の研究や教育において素数を理解するための基本的な手法として使用されます。
また、数論や暗号理論の分野でも重要な役割を果たしています。
コンピュータサイエンスでの利用
このアルゴリズムは、コンピュータプログラミングにおいても重要です。
特に、素数を必要とするさまざまなアルゴリズムやアプリケーションで利用されています。
エラトステネスの篩を用いることで、効率的に素数を計算し、処理時間を大幅に短縮できます。
まとめ
エラトステネスの篩は、与えられた整数以下の素数を見つけるための強力なアルゴリズムであり、その効率性とシンプルさから多くの分野で広く利用されています。
この手法を理解することで、素数の性質や数論の基礎を深く学ぶことができ、ITや数学の研究においても有益です。
エラトステネスの篩は、今後も重要な計算手法として、多くの応用が期待されます。